Приведение кривых второго порядка к каноническому виду

Квадрикой называется уравнение вида: $$a_{11}x^{2} + 2a_{12}xy + a_{22}y^{2} + a_{1}x + a_{2}y + a_{3} = 0$$ $a_{11},~a_{12},~a_{22}$ - не все равны $0$

Кривая удовлетворяющая уравнению квадрики является одной из: 1) Эллипс 2) Гипербола 3) Парабола 4) Пара параллельных прямых 5) Пара пересекающихся прямых 6) Пара совпавших прямых 7) Точка 8) Пустое множество

Пусть изначальное уравнение имеет вид: $$a_{11}x^{2} + 2a_{12}xy + a_{22}y^{2} + a_{1}x + a_{2}y + a_{3} = 0$$ План доказательства: 1) Устранить слагаемое $xy$ 2) Устранить линейные слагаемые (собирая полные квадраты) 3) Разобраться со знаками **Шаг 1** Приведём квадратичную часть $q(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2$ к главным осям заменой $T$. Используем именно этот метод, чтобы декартова система координат перешла в декартову. $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $$ После замены: $$ q = A{x'}^2 + B{y'}^2 $$ и уравнение принимает вид: $$ A{x'}^2 + B{y'}^2 + Cx' + Dy' + E = 0 $$ **Шаг 2 и 3** **Случай 1**: $A \neq 0, B \neq 0$ Без ограничения общности, $A > 0$ (иначе домножим на $-1$) Выделяем полные квадраты: $$A\left( {x'}^{2} + \dfrac{C}{A}x' \right) + B\left( {y'}^{2} + \dfrac{D}{B}y' \right) = -E$$ $$ A\left(x' + \dfrac{C}{2A}\right)^2 + B\left(y' + \dfrac{D}{2B}\right)^2 = \dfrac{C^2}{4A} + \dfrac{D^2}{4B} - E$$ Заменой $x'' = x' + \dfrac{C}{2A}$, $y'' = y' + \dfrac{D}{2B}$, $E' = \dfrac{C^2}{4A} + \dfrac{D^2}{4B} - E$ упрощаем: $$ A{x''}^2 + B{y''}^2 = E' $$ **Подслучаи**: - $E' = 0$: - $B > 0$: ${} A{x''}^{2} + B{y''}^{2} = 0 {}$ $\implies$ $x'' = y'' = 0$ (**точка**) - $B < 0$: $A{x''}^{2} - (-B){y''}^{2} = 0$ ${} \implies {}$ $\sqrt{A}|x''| = \sqrt{-B}|y''|$ (**две пересекающиеся прямые**) - $E' > 0$: - $B > 0$: **эллипс** ${} \dfrac{{x''}^2}{\frac{E'}{A}} + \dfrac{{y''}^2}{\frac{E'}{B}} = 1 {}$ - $B < 0$: **гипербола** $\dfrac{{x''}^2}{\frac{E'}{A}} - \dfrac{{y''}^2}{\frac{-E'}{B}} = 1$ - $E' < 0$: - $B > 0$: $A{x''}^{2} + B{y''}^{2} < 0$ $\implies$ $\varnothing$ - $B < 0$: **гипербола**, но с заменой осей **Случай 2**: Без ограничения общности: ${} A > 0, B = 0 {}$: $$ A{x'}^2 + Cx' + Dy' + E = 0 $$ Выделяем полный квадрат: $$A\left( {x'}^{2} + \dfrac{C}{A}x' \right) + Dy' + E = 0$$ $$A\left( x' + \dfrac{C}{2A} \right)^{2} + Dy' + E - \dfrac{C^{2}}{4A^{2}} = 0$$ Заменой $x'' = x' + \dfrac{C}{2A}$ и $E' = E - \dfrac{C^{2}}{4A^{2}}$ получаем: $$ A{x''}^2 + Dy' + E' = 0 $$ **Подслучаи**: - $D \neq 0$: **парабола** $y' = -\dfrac{A}{D}{x''}^2 - E'$ - $D = 0$: - $E' < 0$: **пара параллельных прямых** ${} x'' = \pm \sqrt{\dfrac{-E'}{A}} {}$ - $E' = 0$: **совпадающие прямые** $x'' = 0$ - $E' > 0$: $\varnothing$ $\square$